仪器响应的物理细节

地震波的传播会引起地面运动。用来表征地面运动的物理量有很多,常见的有速度和加速度,不太常见的还有位移、 应变、旋转。这些物理量在被地震仪接收到之后,首先要将其转换为电信号,然后对电信号振幅进行放大以及滤波, 再将连续时间序列离散化,最终以我们常见的波形的形式表现出来。

简介

概括地说,这个过程分为三个阶段:

  1. Analog Stages
  2. Analog-Digital Converter
  3. Digital Stages

地震仪的仪器响应是频率的复数函数,也就是常说的振幅响应和频率响应。上面提到的三个阶段,每个阶段的响 应函数都是频率的复数函数,表示为 \(G_i(f)\),整个仪器的响应函数是各个阶段响应函数的乘积:

\[G(f)=\prod_i G_i(f)\]

预备知识

FIR滤波器

信号处理没学好,不敢瞎说,姑且翻译重点部分。简单地说,FIR滤波器 就是对一些数据采样点做加权平均,设计不同的加权系数就得到不同的FIR滤波器。FIR滤波器一般设计为振幅响应 为方阶跃函数(boxcar),因而其在通带内有较平的振幅响应,在拐角频率处有很尖锐很陡峭的振幅响应变化 (一般拐角频率设置为Nyquist频率的70%-90%)。与此同时,滤波器具有线性相位,即具有类似 \(e^{i \omega t}\)的形式,这个线性相位在时间域代表信号的时间延迟,一般数据采集系统会对这个时间延迟 做校正。由此,用户基本不需要考虑FIR滤波器对仪器响应的影响。

响应函数

模拟信号的响应函数用Laplace变换表示:

\[H(s)=\int_0^{\infty}h(t)e^{-st}dt\]

数字信号的响应函数用Z变换表示:

\[H(z)=\sum_{-\infty}^{+\infty}h_m z^{-m}\]

归一化

频率响应可以表示为

\[G(f)=S_d R(f)\]

其中 \(R(f)\) 是频率的函数。在某个特定的频率 \(f_s\),有 \(|R(f_s)|=1.0\) ,即 \(R(f)\) 在频率 \(f_s\) 处进行归一化。\(S_d\) 是放大系数,也称为Sensitivity或者Gain。

\(R(f)\) 可以表示为

\[R(f)=A_0 H_p(s)\]

其中 \(H_p(s)\) 是用零极点表示的transfer函数,一般来说在频率\(f_s\)处这个transfer函数的振幅响应 不为1,所以需要归一化因子 \(A_0\)

Analog Stages

这个阶段的主要功能是将连续的地面运动物理量(比如速度)转换为电压信号,并进行电压放大。因而这个阶段的 输入单位是 m/s,输出单位是伏特(V)。这个阶段的响应函数可以表示为

\[G(f)=S_d A_0 \frac{\prod (s-r_n)}{\prod (s-p_m)}=S_d A_o H_p(s)\]

如前所说,\(S_d\) 是放大系数,\(H_p(s)\) 是用零极点表示的transfer函数,这里n和m代表n个零点和m个极点。 \(A_0\) 是归一化因子。

Analog-Digital Converter

模电转换器,将上个阶段产生的连续的电压信号转换为离散的电压信号。输入的单位是伏特V,输出单位是counts。 (不了解A/D C的细节,大概就是说在离散的时候存在一个非常小的阀值,这个值是离散信号所能识别的最小电压差。) 这个过程中,其在所有频段内振幅响应相同,也就是只存在一个放大系数,同时可能存在一个时间延迟。

Digital Stages

这个阶段对离散数据进行处理。这个过程包含了三个小部分:离散信号滤波,数据重采样,校正滤波引入的时间延迟。

离散信号滤波可以采用FIR滤波器,也可以采用IIR滤波器。多数情况下采用FIR滤波器,这意味着这个阶段只需要 考虑放大系数 \(S_d\),归一化因子 \(A_0\) 不需要考虑,或者可以认为其为1.0。同样,对于数据重采样以及时间校正 也不会引入新的响应函数。

说明:FIR滤波器的响应函数可以近似认为其振幅恒为1,实际情况下,在Nyquist采样率附近会有5%左右的震荡。 因而当感兴趣的频率比Nyquist频率小很多时可以不必考虑FIR滤波器的响应函数。

小结

综上所述,三个阶段中,第一个阶段最为复杂,需要给出放大系数 \(S_{d1}\)、归一化因子 \(A_0\) 以及 多个零极点;第二个阶段以及第三个阶段都只需要给出放大系数 \(S_{d2}\)\(S_{d3}\)。时间校正由数据 采集系统自动完成(mark一下,这话说得没底气)。

最终得到仪器的响应函数为

\[G(f)=S_{d1} A_0 H_p(s) S_{d2} S_{d3} = S_{d0} A_o H_p(s)\]

即需要仪器在第一个阶段的零极点信息、归一化因子 \(A_o\) 以及全部三个阶段的放大系数 \(S_{d0}\) 即可以 完全表示地震仪的仪器响应。

备注

  1. 这里描述的是一些基本物理细节,应该足够理解仪器响应。想要了解更多的细节,可以看参考中给出的SEED Reference Manual的指定页。

参考

  1. SEED Reference Manual, Version 2.4, August 2012, P71-P78, P151-169
  2. EarthScope 2009 workshop session2

修订历史

  • 2013-06-26:初稿。